Справочник по логическим операциям
1. Основы логики высказываний
Логическое высказывание – это утверждение, которое может быть либо истинным (1), либо ложным (0).
Примеры высказываний:
- “2 + 2 = 4” – истинно (1)
- “Земля плоская” – ложно (0)
- “x > 5” – зависит от значения x
Обозначения в тесте:
| Операция | Обозначение | Чтение |
|---|---|---|
| Отрицание | ¬A или НЕ(A) | “не A” |
| Конъюнкция | A ∧ B | “A и B” |
| Дизъюнкция | A ∨ B | “A или B” |
| Импликация | A → B | “если A, то B” |
| Эквивалентность | A ≡ B | “A тогда и только тогда, когда B” |
2. Логические операции
Отрицание (НЕ)
Меняет значение на противоположное:
Пример:
НЕ(5 < 3) = НЕ(ложь) = истина
Потому что 5 < 3 - ложь, а отрицание лжи дает истину
Конъюнкция (И)
Истинна только когда ОБА высказывания истинны:
Дизъюнкция (ИЛИ)
Истинна когда ХОТЯ БЫ ОДНО высказывание истинно:
Импликация (ЕСЛИ-ТО)
Ложна только когда первое истинно, а второе ложно:
Эквивалентность (ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА)
Истинна когда оба высказывания одинаковы:
3. Таблицы истинности
Таблица истинности показывает значение сложного выражения при всех возможных комбинациях исходных высказываний.
Пример: A ∨ ¬B
| A | B | ¬B | A ∨ ¬B |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
Алгоритм заполнения таблиц:
- Выпишите все возможные комбинации A и B (4 строки)
- Вычислите значения для всех отрицаний
- Вычислите значения для операций в скобках
- Вычислите итоговое выражение
4. Решение логических выражений
Преобразование выражений с “НЕ”
Отрицание меняет знаки сравнения:
| Выражение | Отрицание |
|---|---|
| НЕ(x < 5) | x ≥ 5 |
| НЕ(x > 3) | x ≤ 3 |
| НЕ(x = 7) | x ≠ 7 |
| НЕ(x четное) | x нечетное |
Метод решения задач:
- Переведите условие на математический язык
- Упростите выражение с помощью законов логики
- Найдите область решений – числовой промежуток
- Выберите ответ согласно условию (наименьшее/наибольшее число)
Пример: Найдите x, для которого ложно: НЕ(x < 6) ИЛИ (x < 5)
Шаг 1: НЕ(x < 6) = x ≥ 6
Шаг 2: Выражение: x ≥ 6 ИЛИ x < 5
Шаг 3: Выражение ложно, значит обе части ложны:
НЕ(x ≥ 6) И НЕ(x < 5) = (x < 6) И (x ≥ 5)
Шаг 4: x ∈ [5, 6) – единственное натуральное число: 5
Ответ: 5
5. Подробные примеры решения
Пример 1: Таблица истинности для A → B
Заполняем по определению импликации:
| A | B | A → B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Пример 2: Наибольшее число для НЕ(X ≤ 15) И (X < 20)
Решение:
НЕ(X ≤ 15) = X > 15
X > 15 И X < 20 = 16, 17, 18, 19
Ответ: 19 (наибольшее число)
Пример 3: Наименьшее число для НЕ(X < 9) И НЕ(X нечетное)
Решение:
НЕ(X < 9) = X ≥ 9
НЕ(X нечетное) = X четное
X ≥ 9 И X четное = 10, 12, 14, …
Ответ: 10 (наименьшее число)
6. Практические задания
Задание 1
Заполните таблицу для ¬A ∧ B
Ответ: [0, 1, 0, 0]
Задание 2
Найдите x для: НЕ(x > 10) И (x четное)
Ответ: 10
Задание 3
Заполните таблицу для A ≡ B
Ответ: [1, 0, 0, 1]
- Запомните таблицы для основных операций
- Тщательно преобразуйте выражения с “НЕ”
- Внимательно читайте условие (наименьшее/наибольшее)
- Проверяйте границы числовых промежутков